Динамика и максимизация

Естественно, из этого не следует, что с помощью максимизации нельзя исследовать широкую область динамических процессов. Так, например, рассмотрим динамический алгоритм нахождения верши­ны горы, который реализуется с помощью "градиентного метода". Его идея заключается в том, что ваша скорость в каком-либо на­правлении пропорциональна наклону горы в том же самом направ­лении. Нельзя рассчитывать, что такой метод приведет вас на высо­чайшую вершину Альп из любой начальной точки, находящейся в Европе. Однако он сходится к точке максимума любой вогнутой по­верхности из тех, что фигурируют в школьных учебниках.

Подобно световым лучам в физике, о которых я говорил ранее, оптимальные траектории роста в теориях, выросших из новатор­ской работы Фрэнка Рамсея, появившейся более сорока лет тому назад (Ramsey, 1928), сами по себе демонстрируют богатство дина­мических явлений. Такая динамика совсем не похожа, скажем, на ту, которая составила предмет позитивистского анализа связи аксе­лератора с мультипликатором. Может быть, вы помните, что сэр Уильям Гамильтон затратил много лет, пытаясь обобщить понятие комплексного числа на случай более чем двух измерений. Рассказы­вают, что его семья с сочувствием относилась к его исследованиям кватерниона, и каждый вечер дети приветствовали его по возвра­щении из астрономической обсерватории вопросом: "Папа, ты уме­ешь перемножать свои кватернионы?" лишь для того, чтобы полу­чить грустный ответ: "Я умею складывать мои кватернионы, но я не умею их перемножать". Если бы в 30-е годы Ллойд Метцлер и я имели детей, они каждый вечер спрашивали бы нас: "Все ли ваши характеристические корни вели себя хорошо и были устойчивы?" Ибо в те дни, находясь под впечатлением затянувшейся Американ­ской Депрессии и ее нечувствительности к эфемерным государствен­ным дотациям, мы были в какой-то мере во власти догмы устойчи­вости.

Совершенно иными были мои главные интересы в течение 50-х годов, когда я занимался бесплодными поисками доказательства так называемой "теоремы о магистрали" (Samuelson 1949a, 1960а, 1968b, Samuelson and Solow, 1956; Dorfman, Samuelson and Solow, 1958). Здесь речь тоже идет о модели максимизации, по крайней мере в смысле межвременной эффективности. Когда вы изучаете модель "затраты-выпуск" фон Неймана, вы сталкиваетесь с задачей на­хождения минимакса, или седловой точки, подобной той, которая рассматривается в его же теории игр. Это исключает возможность того, что ваши динамические характеристические корни будут демп­фироваться. Так что если бы мои дети не относились к моей науч­ной работе с тем чувством, которое можно назвать "снисходительным пренебрежением", то в 50-х годах они должны были бы спрашивать меня "Папа, образуют твои характеристические корни взаимно об­ратные или противоположные по знаку пары, соответствующие дви­жению по цепной линии вокруг магистральной седловой точки?"

Могу ли я попросить вас о снисхождении? Позвольте мне откло­ниться от темы и рассказать один анекдот. Я делаю это с некоторым смущением, потому что, когда меня приглашали прочитать лекцию, профессор Лундберг предупредил, что это должна быть серьезная лекция. Хотя и говорят, что я был нахальным молодым человеком, у меня было только одно столкновение с великим Джоном фон Нейма­ном, который, конечно, был гигантом современной математики и, кроме того, проявил свою гениальность в работе над водородной бомбой, теорией игр и основами квантовой механики. Ради того, чтобы дать представление о его величии, я готов даже с еще большим бесстыдством бросить вызов профессору Лундбергу и рассказать вам анекдот в анекдоте. Кто-то однажды спросил великого йельского математика Какутани: "Вы великий математик?" Какутани скромно ответил: "О, вовсе нет. Я — рядовой трудяга, искатель истины" — "Ну, если вы не великий математик, то кого бы вы назвали тако­вым?" — спросили его. Какутани думал, думал, а затем, как гласит предание, наконец сказал "Джонни фон Неймана".

И вот с этим Голиафом у меня произошло столкновение. Как-то, а это было в 1945 г., фон Нейман читал лекцию в Гарварде о своей модели общего равновесия. Он заявил, что в ней используется но­вый математический аппарат, не связанный с традиционным мате­матическим аппаратом физики и теорией экстремумов. Я подал го­лос из задних рядов, сказав, что это вовсе не отличается от понятия границы издержек упущенной выгоды, используемого в экономи­ческой теории, когда при фиксированных количествах всех ресур­сов и всех, кроме одного, продуктов общество стремится максими­зировать объем выпуска остающегося продукта. Фон Нейман отреа­гировал на это с быстротой молнии, что было для него характерным: "Вы можете держать пари на одну сигару?" К стыду своему, дол­жен сказать, что в этот раз маленький Давид, поджав хвост, бежал с поля боя. И все же когда-нибудь, когда я войду в ворота Святого Петра, я думаю, что половина сигары мне достанется, но только половина, потому что точка зрения фон Неймана также была обоснованной.

Беглый просмотр современных журналов и учебников показы­вает, что, в то время как студент, изучающий классическую меха­нику, часто сталкивается со случаями колебаний около положения равновесия (например, маятника), студент-экономист чаще имеет дело с движениями по цепной линии около седловой точки: подобно тому как канат, подвешенный на двух гвоздях, принимает форму цепной линии, выпуклой в сторону земли, так и экономические дви­жения совершаются вдоль цепной линии, выпуклой в сторону магистрали. Я хотел бы здесь напомнить о происхождении слова "маги­страль" (Turnpike). Все американцы привыкли к тому, что если нужно попасть из Бостона в Лос-Анджелес, то лучше всего побыстрее до­ехать до главной магистрали и только в конце путешествия нужно свернуть с нее к пункту назначения. Так же и в экономике для того чтобы обеспечить наиболее эффективное развитие страны, при оп­ределенных обстоятельствах следует как можно быстрее вступить на путь максимального и сбалансированного роста, так сказать, "оседлать" эту магистраль, а затем, по окончании, например, 20-летнего периода, свернуть к конечной цели развития. Здесь мы сталкиваем­ся с интересным эффектом: когда горизонт становится широким, вы проводите большую часть своего времени в пределах малого расстоя­ния от магистрали. Все, больше я не буду произносить это слово, на котором можно сломать язык.

.

Назад